Få geometriska former är så olika som polygoner. De inkluderar den välbekanta triangeln, kvadraten och femhörningen, men det är bara början.
I geometri är en polygon vilken tvådimensionell form som helst som uppfyller följande villkor:
- Består av tre eller fler raka linjer
- Är stängd utan öppningar eller avbrott i formen
- Har par av linjer som ansluter i hörnen eller hörnen där de bildar vinklar
- Har lika många sidor och invändiga vinklar
Tvådimensionell betyder platt som ett papper. Kuber är inte polygoner eftersom de är tredimensionella. Cirklar är inte polygoner eftersom de inte innehåller raka linjer.
En speciell typ av polygon kan ha vinklar som inte alla är lika. I det här fallet kallas det en irregular polygon.
Om polygoner
Namnet polygon kommer från två grekiska ord:
- Poly, vilket betyder många
- Gon, vilket betyder angle
former som är polygoner
- Trigon (triangel): 3 sidor
- Tetragon (fyrkantig): 4 sidor
- Pentagons: 5 sidor
- Hexagon: 6 sidor
- Heptagon: 7 sidor
- Oktagoner: 8 sidor
- Nonagon: 9 sidor
- Dekagon: 10 sidor
- Undecagon: 11 sidor
- Dodecagons: 12 sidor
Hur polygoner heter
Namnen på enskilda polygoner härleds från antalet sidor eller hörn som formen har. Polygoner har samma antal sidor och hörn.
Det vanliga namnet för de flesta polygoner är det grekiska prefixet för "sidor" kopplat till det grekiska ordet för hörn (gon).
Exempel på detta för fem- och sexsidiga reguljära polygoner är:
- Penta (grekiska betyder fem) + gon= pentagon
- Hexa (grekiska betyder sex) + gon= hexagon
Det finns undantag från detta namnschema. Framför allt med ord som oftare används för vissa polygoner:
- Triangel: Använder det grekiska prefixet Tri, men istället för det grekiska gon, det latinska angleanvänds. Trigon är det korrekta geometriska namnet men används sällan.
- Quadrilateral: Kommer från det latinska prefixet quadri, som betyder fyra, kopplat till ordet lateral, som är ett annat latinskt ord som betyder side.
- Square: Ibland hänvisas till en fyrsidig polygon (en kvadrat) som en quadrangle eller tetragon.
N-Gons
Polygoner med fler än 10 sidor påträffas sällan men följer samma grekiska namnkonvention. Så en 100-sidig polygon kallas en hectogon.
Men i matematik kallas femhörningar ibland mer bekvämt som n-gons:
- 11-gon: Hendecagon
- 12-gon: Dodecagon
- 20-gon: Icosagon
- 50-gon: Pentecontagon
- 1000-gon: Chiliagon
- 1000000-gon: Megagon
I matematik används n-goner och deras motsvarigheter med grekiskt namn omväxlande.
Polygon Limit
Teoretiskt sett finns det ingen gräns för antalet sidor en polygon kan ha.
När storleken på de inre vinklarna i en polygon blir större och längden på dess sidor blir kortare, närmar sig polygonen en cirkel, men den når aldrig riktigt dit.
Klassifiera polygoner
Regulära vs. oregelbundna polygoner
Polygoner klassificeras baserat på om alla vinklar eller sidor är lika eller inte.
- Regular polygon: Alla vinklar är lika stora och alla sidor är lika långa.
- Oregelbunden polygon: Har inte lika stora vinklar eller sidor av samma längd.
Konvexa kontra konkava polygoner
Ett andra sätt att klassificera polygoner är efter storleken på deras inre vinklar.
- Konvexa polygoner: Har inga inre vinklar som är större än 180°.
- Konkava polygoner: Ha minst en inre vinkel som är större än 180°.
enkla vs. komplexa polygoner
Ett annat sätt att klassificera polygoner är hur linjerna som bildar polygonen skär varandra.
- Enkla polygoner: Linjerna ansluter eller skär varandra endast en gång - vid hörnen.
- Komplexa polygoner: Linjerna skär varandra mer än en gång.
Namnen på komplexa polygoner skiljer sig ibland från namnen på enkla polygoner med samma antal sidor.
Till exempel:
- En regelbunden formad hexagon är en sexsidig, enkel polygon.
- Ett stjärnformat hexagram är en sexsidig, komplex polygon skapad genom att överlappa två liksidiga trianglar.
Summa av de inre vinklarna
Som regel, varje gång en sida läggs till i en polygon, till exempel:
- Från en triangel till fyrhörning (tre till fyra sidor)
- Från en femhörning till en hexagon (fem till sex sidor)
ytterligare 180° läggs till summan av de inre vinklarna.
Denna regel kan skrivas som en formel:
(n - 2) × 180°
där n är lika med antalet sidor i polygonen.
Så summan av de inre vinklarna för en hexagon kan hittas genom att använda formeln:
(6 - 2) × 180°=720°
Hur många trianglar i den polygonen?
Ovanstående formel för inre vinkel härleds genom att dela en polygon i trianglar, och detta tal kan hittas med beräkningen:
n - 2
I den här formeln är n lika med antalet sidor i polygonen.
En hexagon (sex sidor) kan delas in i fyra trianglar (6 - 2) och en dodecagon i 10 trianglar (12 - 2).
Vinkelstorlek för vanliga polygoner
För vanliga polygoner, där alla vinklar är lika stora och sidorna är lika långa, kan storleken på varje vinkel i en polygon beräknas genom att dividera den totala storleken på vinklarna (i grader) med det totala antalet av sidor.
För en vanlig sexsidig hexagon är varje vinkel:
720° ÷ 6=120°
Några välkända polygoner
Välkända polygoner inkluderar:
Trusses
Takstolar är ofta triangulära. Beroende på takets bredd och lutning kan fackverket innehålla liksidiga eller likbenta trianglar. På grund av sin stora styrka används trianglar vid konstruktion av broar och cykelramar. De är framträdande i Eiffeltornet.
The Pentagon
Pentagon – högkvarteret för det amerikanska försvarsdepartementet – har fått sitt namn från sin form. Byggnaden är en femsidig, vanlig femkant.
Hemtallrik
En annan välkänd femsidig vanlig pentagon är hemmaplattan på en baseball-diamant.
The Fake Pentagon
Ett gigantiskt köpcentrum nära Shanghai, Kina, är byggt i form av en vanlig femhörning och kallas ibland Fake Pentagon.
Snöflingor
Varje snöflinga börjar som en hexagon, men temperatur och fuktnivåer lägger till grenar och rankor så att var och en ser olika ut.
Bin och getingar
Naturliga hexagoner inkluderar även bikupor, där varje cell i en bikaka som bina konstruerar för att hålla honung är hexagonal. Pappersgetingars bon innehåller också sexkantiga celler där de föder upp sina ungar.
The Giant's Causeway
Hexagoner finns också i Giant's Causeway i nordöstra Irland. Det är en naturlig klippformation som består av cirka 40 000 sammankopplade bas altpelare som skapades när lavan från ett gamm alt vulkanutbrott långsamt svalnade.
The Octagon
The Octagon – namnet på ringen eller buren som används i Ultimate Fighting Championship (UFC)-matcher – har fått sitt namn från sin form. Det är en åttasidig vanlig oktagon.
Stoppskyltar
Stoppskylten - en av de mest välbekanta trafikskyltarna - är ytterligare en åttasidig vanlig oktagon. Även om färgen, ordalydelsen eller symbolerna på skylten kan variera, används den åttakantiga formen för stoppskylten i många länder runt om i världen.
